How email communication works

MUA (Mail User Agent), i.e. Mozilla Thunderbird, Microsoft Outlook
MTA (Mail Transfer Agent)
MDA (Mail Delivery Agent): actually storing the message to disk, may also do filtering mail or delivering to subfolders

Sender MUA--->Sender's mail server [MTA]--->Recipient's mail server [MTA]--->MDA
                                   |                                                                                                      ^
                                   |                                                                                                       | IMAP/
                                   |                                                                                                       | POP3
                                  V                                                                                                     V
                            DNS server                                                                                 Recipient MUA

Dovecot is one program which can provide that IMAP and POP3 server functionality.
* Note that Dovecot is NOT responsible for receiving mail from other servers.

Dovecot is not involved with actual reception of e-mail. That functionality is provided by an MTA such as Exim or Postfix